Nije odmah osetio strast za sportom koji mu je omogućio svetsku slavu jer je kao dečak igrao fudbal, bavio se atletikom i voleo da diže tegove. Ali pošto je u Belišću, gde je rođen, tradicija kajakaškog i kanuističkog sporta bila dugotrajna, Matija Ljubek se okušao s čamcem i veslom i shvatio da je to njegov životni poziv.
Sredinom 70-tih snažni belišćanski brkajlija skrenuo je pažnju na sebe. Na Svetskom prvenstvu 1975. u Beogradu Ljubek je zauzeo treće mesto u kanuističkom maratonu na 10 hiljada metara što je jasno označilo početak velike i neponovljive karijere.
Već idućeg leta na Olimpijskim igrama u kanadskom Montrealu, Matija je bio prvi na 1000 i treći na 500 metara. Po povratku u rodno Belišće priređen mu je nezaboravan doček gde su ga dočekali doslovno svi sugrađani. Takođe, Ljubek je u kanuu dvokleku s prijateljem Mirkom Nišovićem iz Zemuna, na OI u Los Anđelesu osvojio takođe zlatnu (500m) i srebrnu (1.000m) medalju.
U izuzetno bogatoj karijeri osvojio je više od 300 medalja – dve zlatne i po jednu srebrnu i bronzanu medalju na Olimpijskim igrama, četiri zlatne, dve srebrne i četiri bronzane na Svetskim prvenstvima, kao i tri zlatne medalje na Mediteranskim igrama. Sve ove uspehe postigao je od 1975. do 1987. godine kao reprezentativac SFRJ. Bio je izabran za sportistu Jugoslavije u anketi sportskog lista „Sport“ 1976. godine.
Završetkom sportske karijere ostao je u sportu kao sportski radnik. Nažalost, prerana smrt (stradao je od metka iz pištolja zbog nerazjašnjenih porodičnih okolnosti) odvojila ga je zauvek od sporta. Kajak i kanu klub u Zagrebu danas nosi njegovo ime.
